如图，$\triangle OBC$ 的三个顶点坐标分别为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(0,2)$. 设 $P_{1}$ 为线段 $BC$ 的中点，$P_{2}$ 为线段 $CO$ 的中点，$P_{3}$ 为线段 $OP_{1}$ 的中点. 对于每一个正整数 $n$，$P_{n+3}$ 为线段 $P_{n}P_{n+1}$ 的中点，令 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$，$a_{n} = \frac{1}{2}y_{n} + y_{n+1} + y_{n+2}$.

(1) 求 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 及 $a_{n}$； (2) 证明 $y_{n+4} = 1 - \frac{y_n}{4}$，$n \in \mathbf{N}^*$； (3) 若记 $b_{n} = y_{4n+4} - y_{4n}$，$n \in \mathbf{N}^*$，证明 $\{b_n\}$ 是等比数列.