已知函数 其中 $a$ 是实数. 设 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$.

(1) 指出函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直，且 $x_2<0$，证明：$x_2-x_1\geqslant1$； (3) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围.