如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = AA_{1} = 1$. $D$ 是棱 $CC_{1}$ 上的一点，$P$ 是 $AD$ 的延长线与 $A_{1}C_{1}$ 的延长线的交点，且 $PB_{1} \parallel$ 平面 $BDA_{1}$.

(1) 求证：$CD = C_{1}D$； (2) 求二面角 $A - A_{1}D - B$ 的平面角的余弦值； (3) 求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离.