求经过定点 $M\left(1,2\right)$，以 $y$ 轴为准线，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的左顶点的轨迹方程.

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $c = 10$，$\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆上的动点. 求点 $P$ 到顶点 $A$，$B$，$C$ 的距离的平方和的最大值与最小值.