在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $c = 10$，$\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆上的动点. 求点 $P$ 到顶点 $A$，$B$，$C$ 的距离的平方和的最大值与最小值.

如图，已知圆心为 $O$，半径为 $1$ 的圆与直线 $l$ 相切于点 $A$，一动点 $P$ 自切点 $A$ 沿直线 $l$ 向右移动时，取 $\widehat{AC}$ 的长为 $\frac{2}{3} AP$，直线 $PC$ 与直线 $AO$ 交于点 $M$. 又知当 $AP = \frac{3\pi}{4}$ 时，点 $P$ 的速度为 $v$，求这时点 $M$ 的速度.