设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，右顶点为 $A$，上顶点为 $B$，已知 $|AB|=\frac{\sqrt3}{2}|F_1F_2|$.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切. 求直线 $l$ 的斜率.