已知动圆过定点 $\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，且与直线 $x=-\dfrac{p}{2}$ 相切，其中 $p>0$.

(1) 求动圆圆心 $C$ 的轨迹的方程； (2) 设 $A$，$B$ 是轨迹 $C$ 上异于原点 $O$ 的两个不同点，直线 $OA$ 和 $OB$ 的倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，当 $\alpha$，$\beta$ 变化且 $\alpha+\beta$ 为定值 $\theta$（$0<\theta<\pi$）时，证明直线 $AB$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.