已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=5$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{n+1}=2S_n+n+5$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）.

(1) 证明数列 $\{a_n+1\}$ 是等比数列； (2) 令 $f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，求函数 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处的导数 $f'(1)$ 并比较 $2f'(1)$ 与 $23n^2-13n$ 的大小.