在平面直角坐标系 $xOy$ 中，有一个以 $F_1(0,-\sqrt3)$ 和 $F_2(0,\sqrt3)$ 为焦点，离心率为 $\frac{\sqrt3}{2}$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 $C$，动点 $P$ 在 $C$ 上，$C$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$，$y$ 轴的交点分别为 $A$，$B$，且向量 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. 求：

(1) 点 $M$ 的轨迹方程. (2) $|\overrightarrow{OM}|$ 的最小值.