设直线系 $M: x \cos \theta + (y - 2) \sin \theta = 1$（$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$），对于下列四个命题：

① 存在一个圆与所有直线相交； ② 存在一个圆与所有直线不相交； ③ 存在一个圆与所有直线相切； ④ $M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的代号是______. （写出所有真命题的代号）

\begin{solution} 将直线写成 $x\cos\theta+(y-2)\sin\theta=1$. 点 $P(0,2)$ 到任一直线的距离为 $\frac{|0-1|}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}=1$，所以 $M$ 中的所有直线都是圆 $C:x^{2}+(y-2)^{2}=1$ 的切线.

半径大于 $1$ 且圆心为 $P$ 的圆与所有这些直线相交，半径小于 $1$ 且圆心为 $P$ 的圆与所有这些直线均不相交，圆 $C$ 与所有这些直线相切，因此 A、B、C 都是真命题.

D 不成立. 例如取 $\theta=0$，$\frac{2\pi}{3}$，$\frac{4\pi}{3}$，所得正三角形的内切圆为 $C$，内切半径为 $1$，面积为 $3\sqrt{3}$. 再取 $\theta=0$，$\frac{\pi}{3}$，$\frac{5\pi}{3}$，令 $u=x$，$v=y-2$，三条直线为 $u=1$、$\frac12u+\frac{\sqrt3}{2}v=1$、$\frac12u-\frac{\sqrt3}{2}v=1$. 它们的三个交点为 $(2,0)$、$(1,\frac1{\sqrt3})$、$(1,-\frac1{\sqrt3})$，故所得正三角形边长为 $\frac{2}{\sqrt3}$，面积为 $\frac{\sqrt3}{3}$. 两个面积不相等，故真命题的代号为 ABC. \end{solution}