若不等式 $\sqrt{4-x^{2}} \leqslant k(x+1)$ 的解集为区间 $[a,b]$，且 $b-a = 1$，则 $k =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 根式有意义要求 $-2\leqslant x\leqslant2$. 若 $k>0$，当 $x\leqslant-1$ 时右端不为正而左端非负，只有可能在 $x=-2$ 时成立，但此时右端为 $-k<0$，仍不成立，所以解集包含于 $(-1,2]$. 又 $x=2$ 对任意 $k>0$ 都满足不等式，故解集若为 $[a,b]$，必有 $b=2$. 由 $b-a=1$，得到 $a=1$. 因为 $1$ 是定义域内部的解集端点，连续函数两边的符号必须在此处改变，故在 $x=1$ 处取等号： $\sqrt{4-1}=k(1+1)$，从而 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

反向验证：当 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，解集必须满足 $x>-1$，且平方等价于 $4-x^{2}\leqslant\frac34(x+1)^{2}$，即 $7x^{2}+6x-13\geqslant0$，也就是 $(7x+13)(x-1)\geqslant0$. 与 $(-1,2]$ 取交集，解集恰为 $[1,2]$，长度为 $1$.

若 $k=0$，不等式只在 $x=-2$ 或 $x=2$ 时成立，解集不是区间. 若 $k<0$，成立时必须有 $x<-1$，且 $-2$ 属于解集而 $-1$ 不属于解集；若解集是长度为 $1$ 的闭区间，就只能是 $[-2,-1]$，矛盾. 因而 $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$. \end{solution}