在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$PA = AD = 4$，$AB = 2$. 以 $BD$ 的中点 $O$ 为球心，$BD$ 为直径的球面交 $PD$ 于点 $M$.

(1) 求证：平面 $ABM$ $\perp$ 平面 $PCD$； (2) 求直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角； (3) 求点 $O$ 到平面 $ABM$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 $A$ 为原点，令 $AB$、$AD$、$AP$ 分别为三个坐标轴正向，则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,4,0)$，$C(2,4,0)$，$P(0,0,4)$. 设 $M$ 在 $PD$ 上，写成 $M=(0,4t,4-4t)$. 因为 $M$ 在以 $BD$ 为直径的球面上，所以 $\angle BMD=90^{\circ}$，即 交点 $D$ 对应 $t=1$，故另一交点 $M$ 对应 $t=\frac12$，从而 $M=(0,2,2)$.

$\overrightarrow{AM}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,4,-4)$，$\overrightarrow{CD}=(-2,0,0)$. 因此 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PD}=0$，$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，所以 $AM\perp$ 平面 $PCD$. 又 $AM\subset$ 平面 $ABM$，故平面 $ABM\perp$ 平面 $PCD$.

\item 平面 $ABM$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}=(0,-4,4)$，可取 $\boldsymbol{n}=(0,1,-1)$. 直线 $PC$ 的方向向量为 $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{PC}=(2,4,-4)$. 设直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角为 $\alpha$，则 所以 $\cos\alpha=\frac13$，$\tan\alpha=2\sqrt2$，即 $\alpha=\arctan 2\sqrt2$.

\item 由法向量 $\boldsymbol{n}=(0,1,-1)$，平面 $ABM$ 的方程为 $y-z=0$. 因 $O$ 是 $BD$ 的中点，$O=(1,2,0)$，所以 \end{enumerate} \end{solution}