数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = n^{2}\left(\cos^{2}\frac{n\pi}{3} - \sin^{2}\frac{n\pi}{3}\right)$，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$.

(1) 求 $S_{n}$； (2) $b_{n}=\frac{S_{3n}}{n\cdot4^{n}}$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 利用 $\cos^{2}u-\sin^{2}u=\cos2u$，得 $a_n=n^{2}\cos\frac{2n\pi}{3}$. 当 $n=3j-2$，$3j-1$，$3j$ 时，分别有 $a_{3j-2}=-\frac12(3j-2)^{2}$，$a_{3j-1}=-\frac12(3j-1)^{2}$，$a_{3j}=9j^{2}$. 每三个连续项的和为 所以 由 $S_{3k-1}=S_{3k}-a_{3k}$，得 再由 $S_{3k-2}=S_{3k-1}-a_{3k-1}$，得 因此

\item 由第一问在 $3n$ 处的结果， 于是 将上式乘以 $4$ 后与原式相减，得 因此 \end{enumerate} \end{solution}