已知函数 $f(x) = \sin x$. 若存在 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$ 满足 $0 \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_m \leqslant 6\pi$，且 $|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \cdots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12$（$m \geqslant 2$，$m \in \mathbf{N}^*$），则 $m$ 的最小值为______.

在锐角三角形 $ABC$ 中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$D$ 为边 $BC$ 上的点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 2 和 4. 过 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于 $E$，$DF \perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =$______.