在锐角三角形 $ABC$ 中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$D$ 为边 $BC$ 上的点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 2 和 4. 过 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于 $E$，$DF \perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =$______.