如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$ 到左准线 $l$ 的距离为 $3$.

(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $AB$ 于点 $P$，$C$，若 $PC = 2AB$，求直线 $AB$ 的方程.