某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为 $l_1$，$l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为 $l$. 如图所示，$M$，$N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $5\text{ 千米}$ 和 $40\text{ 千米}$，点 $N$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $20\text{ 千米}$ 和 $2.5\text{ 千米}$. 以 $l_2$，$l_1$ 所在的直线分别为 $x$，$y$ 轴，建立平面直角坐标系 $xOy$. 假设曲线 $C$ 符合函数 $y = \dfrac{a}{x^2 + b}$（其中 $a$，$b$ 为常数）模型.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 设公路 $l$ 与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点，$P$ 的横坐标为 $t$.

(i) 请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f(t)$，并写出其定义域； (ii) 当 $t$ 为何值时，公路 $l$ 的长度最短？求出最短长度.