已知集合 $X = \{1, 2, 3\}$，$Y_n = \{1, 2, 3, \cdots, n\}$（$n \in \mathbf{N}^*$），设 $S_n = \{(a, b) \mid a$ 整除 $b$ 或 $b$ 整除 $a, a \in X, b \in Y_n\}$，令 $f(n)$ 表示集合 $S_n$ 所含元素的个数.

(1) 写出 $f(6)$ 的值； (2) 当 $n \geqslant 6$ 时，写出 $f(n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明.