已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m)$（$m>0$）.

(1) 证明：$k<-\dfrac12$； (2) 设 $F$ 为 $C$ 的右焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}$. 证明：$2\left|\overrightarrow{FP}\right|=\left|\overrightarrow{FA}\right|+\left|\overrightarrow{FB}\right|$.