已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A$，$B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C$，$D$ 两点，且 $|CD|=\dfrac{4}{3}|AB|$.

(1) 求 $C_1$ 的离心率； (2) 设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点. 若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程.