设 $f_{n}(x)$ 是等比数列 $1$，$x$，$x^{2}$，$\cdots$，$x^{n}$ 的各项和，其中 $x > 0$，$n \in \mathbf{N}$，$n \geqslant 2$.

(1) 证明：函数 $F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$），且 $x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}$； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n}(x)$，比较 $f_{n}(x)$ 和 $g_{n}(x)$ 的大小，并加以证明.