已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$，且经过点 $A(0,1)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为原点，直线 $l:y=kx+t$（$t\ne\pm1$）与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P$，$Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，若 $\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2$，求证：直线 $l$ 经过定点.