设数列 $a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$，$a_{n}$，$\cdots$ 中的每一项都不为 $0$. 证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列的充分必要条件是：对任何 $n \in \mathbf{N}^{+}$，都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{n}{a_{1} a_{n+1}}$.