直四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的高为 $6$，底面是边长为 $4$， $\angle DAB = 60^{\circ}$ 的菱形，$AC$ 与 $BD$ 相交于 $O$，$A_{1}C_{1}$ 与 $B_{1}D_{1}$ 相交于 $O_{1}$，$E$ 是 $O_{1}A$ 的中点.

(1) 求二面角 $O_{1}-BC-D$ 的大小（用反三角函数表示）. (2) 分别以射线 $OA$，$OB$，$OO_{1}$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正半轴建立空间直角坐标系，求点 $B_{1}$，$D_{1}$，$E$ 的坐标，并求异面直线 $OB_{1}$ 与 $D_{1}E$ 所成角的大小（用反三角函数表示）.

(1) 设动点 $M$ 到定点 $D(2,0)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离相等，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程. (2) 过点 $D(2,0)$ 的直线 $l$ 交上述轨迹 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，$E$ 点坐标是 $(1,0)$，若 $\triangle EPQ$ 的面积为 $4$，求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的值.

若 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ 分别表示数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和，对任意正整数 $n$，$a_{n} = -\frac{2n+3}{2}$，$4B_{n} - 12A_{n} = 13n$.

(1) 求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式. (2) 设有抛物线列 $C_{1}$，$C_{2}$，$\cdots$，$C_{n}$，$\cdots$，抛物线 $C_{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）的对称轴平行于 $y$ 轴，顶点为 $(a_{n}, b_{n})$，且通过点 $D_{n}(0, n^{2} + 1)$，过点 $D_{n}$ 且与抛物线 $C_{n}$ 相切的直线斜率为 $k_{n}$，求极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n}{a_n b_n}$. (3) 设集合 $X = \{x \mid x = 2a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\}$，$Y = \{y \mid y = 4b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\}$. 把 $X \cap Y$ 中小于 $-100$ 的元素从大到小排列构成数列 $\{c_n\}$，求 $c_n$ 的通项公式.