已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2}$，$D$ 为直线 $y=-\dfrac12$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$.

(1) 证明：直线 $AB$ 过定点； (2) 若以 $E\left(0,\dfrac52\right)$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求该圆的方程.