如图，已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:|y|=|x|+1$. $P$ 是平面内一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_1$，$C_2$ 都有公共点，则称 $P$ 为 “$C_1-C_2$ 型点”.

(1) 在正确证明 $C_1$ 的左焦点是“$C_1-C_2$ 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2) 设直线 $y=kx$ 与 $C_2$ 有公共点. 求证 $|k|>1$，进而证明原点不是“$C_1-C_2$ 型点”； (3) 求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 内的点都不是 “$C_1-C_2$ 型点”.