在 $xOy$ 平面上，将两个半圆弧 $(x-1)^2+y^2=1$ （$x\geqslant 1$）和 $(x-3)^2+y^2=1$（$x\geqslant 3$），两条直线 $y=1$ 和 $y=-1$ 围成的封闭图形记为 $D$，如图中阴影部分. 记 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的几何体为 $\Omega$，过 $(0,y)$ （$|y|\leqslant 1$）作 $\Omega$ 的水平截面，所得截面面积为 $4\pi\sqrt{1-y^2}+8\pi$，试利用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出 $\Omega$ 的体积为______.

\begin{answer} $2\pi^2+16\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 考虑一个半径为 $1$、轴向长度为 $2\pi$ 的平放圆柱. 在高度 $y$（$|y|\leqslant1$）处，其水平截面为矩形，面积为 再取一个高为 $2$、水平截面面积恒为 $8\pi$ 的长方体. 两者组成的几何体在每个 $|y|\leqslant1$ 处的水平截面面积均为 与 $\Omega$ 的对应截面面积相等. 由祖暅原理， \end{solution}