已知函数 $f(x)=2\sin\omega x$. 其中常数 $\omega>0$.

(1) 若 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right]$ 上单调递增，求 $\omega$ 的取值范围； (2) 令 $\omega=2$，将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象. 区间 $[a,b]$ （$a$，$b\in\mathbf{R}$ 且 $a<b$）满足：$y=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少含有 $30$ 个零点. 在所有满足上述条件的 $[a,b]$ 中，求 $b-a$ 的最小值.