已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d$ 不为 0，设 $S_{n} = a_{1} + a_{2}q + \dots +a_{n}q^{n - 1}$，$T_{n} = a_{1} - a_{2}q + \dots +( -1)^{n - 1}a_{n}q^{n - 1}$，$q\neq 0$，$n\in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 若 $q = 1$，$a_{1} = 1$，$S_{3} = 15$，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若 $a_{1} = d$，$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$ 成等比数列，求 $q$ 的值. (3) 若 $q \neq \pm 1$，证明 $(1 - q)S_{2n} - (1 + q)T_{2n} = \frac{2dq(1 - q^{2n})}{1 - q^2}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.