如图，椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）经过点 $A(0,-1)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 经过点 $(1,1)$，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$，$Q$（均异于点 $A$），证明：直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 2.

如图，$AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，直线 $AO$ 交 $\odot O$ 于 $D$，$E$ 两点，$BC \perp DE$，垂足为 $C$.

(1) 证明：$\angle CBD = \angle DBA$； (2) 若 $AD = 3DC$，$BC = \sqrt{2}$，求 $\odot O$ 的直径.