设 $f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1$，$x \geqslant 0$，$n \in \mathbf{N}$，$n \geqslant 2$.

(1) 求 $f_{n}^{\prime}(2)$； (2) 证明：$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$），且 $0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$.