如图，椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）经过点 $A(0,-1)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 经过点 $(1,1)$，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$，$Q$（均异于点 $A$），证明：直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 2.

设 $f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1$，$x \geqslant 0$，$n \in \mathbf{N}$，$n \geqslant 2$.

(1) 求 $f_{n}^{\prime}(2)$； (2) 证明：$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$），且 $0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$.