如图，抛物线 $E: y^{2} = 4x$ 的焦点为 $F$，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$. 点 $C$ 在抛物线 $E$ 上. 以 $C$ 为圆心，$|CO|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$，$N$.

(1) 若点 $C$ 的纵坐标为 2，求 $\left|MN\right|$； (2) 若 $\left|AF\right|^{2}=\left|AM\right|\cdot\left|AN\right|$，求圆 $C$ 的半径.

如图，在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ = 90^{\circ}$，$OP = 2\sqrt{2}$，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上.

(1) 若 $OM = \sqrt{5}$，求 $PM$ 的长； (2) 若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON = 30^{\circ}$，问：当 $\angle POM$ 取何值时，$\triangle OMN$ 的面积最小？ 并求出面积的最小值.