已知函数 $f(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}$（$a \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的极值； (3) 当 $a = 1$ 时，若直线 $l: y = kx - 1$ 与曲线 $y = f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值.