已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=a$，$a\neq0$，$a_{n+1}=rS_n$，$n\in\mathbf{N}^*$，$r\in\mathbf{R}$，$r\neq-1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若存在 $k\in\mathbf{N}^*$，使得 $S_{k+1}$，$S_k$，$S_{k+2}$ 成等差数列，试判断：对于任意的 $m\in\mathbf{N}^*$，且 $m\geqslant2$，$a_{m+1}$，$a_m$，$a_{m+2}$ 是否成等差数列，并证明你的结论.