已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(0,1)$，焦距为 $2\sqrt3$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B$，$C$，直线 $AB$，$AC$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M$，$N$. 当 $|MN|=2$ 时，求 $k$ 的值.