已知函数 $f(x) = \sin x + \tan x$. 项数为 $27$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$，且公差 $d \neq 0$. 若 $f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0$，则当 $k =$______ 时，$f(a_k) = 0$.

已知双曲线 $C$ 的中心是原点，右焦点为 $F(\sqrt{3}, 0)$，一条渐近线 $m: x + \sqrt{2}y = 0$，设过点 $A(-3\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{e} = (1, k)$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若过原点的直线 $a \parallel l$，且 $a$ 与 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$，求 $k$ 的值； (3) 证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 若 $a_n = 3n + 1$，是否存在 $m$，$k \in \mathbf{N}^*$，使 $a_m + a_{m+1} = a_k$？请说明理由； (2) 若 $b_n = aq^n$（$a$，$q$ 为常数，且 $aq \neq 0$），对任意 $m$ 存在 $k$，使 $b_m \cdot b_{m+1} = b_k$，试求 $a$，$q$ 满足的充要条件； (3) 若 $a_n = 2n + 1$，$b_n = 3^n$，试确定所有的 $p$，使数列 $\{b_n\}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 $\{a_n\}$ 中的一项，请证明.