已知双曲线 $C$ 的中心是原点，右焦点为 $F(\sqrt{3}, 0)$，一条渐近线 $m: x + \sqrt{2}y = 0$，设过点 $A(-3\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{e} = (1, k)$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若过原点的直线 $a \parallel l$，且 $a$ 与 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$，求 $k$ 的值； (3) 证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.