已知函数 $f(x) = \sin x + \tan x$. 项数为 $27$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$，且公差 $d \neq 0$. 若 $f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0$，则当 $k =$______ 时，$f(a_k) = 0$.