如图，已知二面角 $\alpha - PQ - \beta$ 为 $60^{\circ}$，点 $A$ 和点 $B$ 分别在平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 上，点 $C$ 在棱 $PQ$ 上，$\angle ACP = \angle BCP = 30^{\circ}$，$CA = CB = a$.

(1) 求证 $AB \perp PQ$. (2) 求点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离. (3) 设 $R$ 是线段 $CA$ 上的一点，直线 $BR$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $45^{\circ}$，求线段 $CR$ 的长度.