已知函数 $f(x) = x^2 + \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}$（$x < 0$） 与 $g(x) = x^2 + \ln\left(x + a\right)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 取函数 $f$ 图象上的点 $(x,f(x))$，其中 $x<0$. 其关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x,f(x))$，要在 $g$ 的图象上，就必须满足 因此 $a=x+\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)$，$x<0$. 记 $h(x)=x+\exp(\mathrm{e}^x-\frac12)$. 则 所以 $h$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递增. 又 $\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$，$\lim_{x\to0^-}h(x)=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$. 由于 $x=0$ 不在取值范围内，$h$ 的值域为 $(-\infty,\sqrt{\mathrm{e}})$. 故选 B. \end{solution}

如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的所有棱长都相等，$AC \cap BD = O$，$A_{1}C_{1} \cap B_{1}D_{1} = O_{1}$，四边形 $ACC_{1}A_{1}$ 和四边形 $BDD_{1}B_{1}$ 均为矩形.

(1) 证明：$O_{1}O \perp$ 底面 $ABCD$； (2) 若 $\angle CBA = 60^{\circ}$，求二面角 $C_{1} - OB_{1} - D$ 的余弦值.

\begin{solution} 因为四边形 $ACC_1A_1$ 是矩形，所以 $CC_1\perp AC$. 同理，由矩形 $BDD_1B_1$ 得 $DD_1\perp BD$. 四棱柱的侧棱互相平行，故 $CC_1\parallel DD_1$，于是同一方向的直线同时垂直于底面内相交的两条直线 $AC$、$BD$，从而 $CC_1\perp$ 底面 $ABCD$. 又 $OO_1\parallel CC_1$，所以 $OO_1\perp$ 底面 $ABCD$.

设四棱柱的棱长为 $l$. 以 $O$ 为原点，取 $AC$、$BD$ 所在直线为坐标轴，并令底面为 $z=0$，可设 $A\left(-\frac l2,0,0\right)$，$C\left(\frac l2,0,0\right)$，$B\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$，$D\left(0,\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$. 这些点构成边长为 $l$ 且 $\angle CBA=60^{\circ}$ 的菱形. 由第一问及侧棱长为 $l$，有 $C_1\left(\frac l2,0,l\right)$，$B_1\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},l\right)$. 平面 $C_1OB_1$ 的一个法向量为 平面 $OB_1D$ 的一个法向量为 所以二面角的余弦值为 \end{solution}

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$|a_{n + 1} - a_n| = p^n$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且 $a_1$，$2a_2$，$3a_3$ 成等差数列，求 $p$ 的值； (2) 若 $p = \frac{1}{2}$，且 $\{a_{2n-1}\}$ 是递增数列，$\{a_{2n}\}$ 是递减数列，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

\begin{solution} 因为 $p^n=|a_{n+1}-a_n|\geqslant0$ 对任意正整数 $n$ 成立，且第一问中的数列递增，所以 $p>0$. 于是 $a_2=1+p$，$a_3=1+p+p^2$. 三个数 $a_1$，$2a_2$，$3a_3$ 成等差数列，故 代入上式得 $4(1+p)=1+3(1+p+p^2)$，即 $p(1-3p)=0$. 由 $p>0$，得 $p=\frac13$.

第二问中令 $d_n=a_{n+1}-a_n$，则 $|d_n|=2^{-n}$. 由奇数项组成的数列递增， 由于 $|d_{2n-1}|=2|d_{2n}|$，只能有 $d_{2n-1}=2^{-(2n-1)}$. 由偶数项组成的数列递减， 由于 $|d_{2n}|=2|d_{2n+1}|$，只能有 $d_{2n}=-2^{-2n}$. 因而对所有 $n\geqslant1$， 于是 \end{solution}