如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的所有棱长都相等，$AC \cap BD = O$，$A_{1}C_{1} \cap B_{1}D_{1} = O_{1}$，四边形 $ACC_{1}A_{1}$ 和四边形 $BDD_{1}B_{1}$ 均为矩形.

(1) 证明：$O_{1}O \perp$ 底面 $ABCD$； (2) 若 $\angle CBA = 60^{\circ}$，求二面角 $C_{1} - OB_{1} - D$ 的余弦值.

\begin{solution} 因为四边形 $ACC_1A_1$ 是矩形，所以 $CC_1\perp AC$. 同理，由矩形 $BDD_1B_1$ 得 $DD_1\perp BD$. 四棱柱的侧棱互相平行，故 $CC_1\parallel DD_1$，于是同一方向的直线同时垂直于底面内相交的两条直线 $AC$、$BD$，从而 $CC_1\perp$ 底面 $ABCD$. 又 $OO_1\parallel CC_1$，所以 $OO_1\perp$ 底面 $ABCD$.

设四棱柱的棱长为 $l$. 以 $O$ 为原点，取 $AC$、$BD$ 所在直线为坐标轴，并令底面为 $z=0$，可设 $A\left(-\frac l2,0,0\right)$，$C\left(\frac l2,0,0\right)$，$B\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$，$D\left(0,\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$. 这些点构成边长为 $l$ 且 $\angle CBA=60^{\circ}$ 的菱形. 由第一问及侧棱长为 $l$，有 $C_1\left(\frac l2,0,l\right)$，$B_1\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},l\right)$. 平面 $C_1OB_1$ 的一个法向量为 平面 $OB_1D$ 的一个法向量为 所以二面角的余弦值为 \end{solution}