设 $n$ 阶方阵 . 任取 $A_n$ 中的一个元素，记为 $x_1$；划去 $x_1$ 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 $n-1$ 阶方阵 $A_{n-1}$，任取 $A_{n-1}$ 中的一个元素，记为 $x_2$；划去 $x_2$ 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为 $x_n$. 记 $S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^3+1}=$______.