双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1$，$F_2$. 若 $P$ 为其上一点，且 $|PF_1| = 2|PF_2|$，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线半焦距为 $c$，则离心率 $e=\frac ca$，且 $c^2=a^2+b^2$，所以 $e>1$. 双曲线的定义给出 $\left||PF_1|-|PF_2|\right|=2a$. 设较短的焦半径为 $r$，则由题设较长的焦半径为 $2r$，于是 $r=2a$，两焦半径分别为 $2a$，$4a$.

由三角形不等式，焦点间距离 $2c$ 满足 $2a\leqslant2c\leqslant6a$，从而 $1\leqslant e\leqslant3$. 结合 $b>0$ 得 $e>1$，故 $1<e\leqslant3$. 反过来，当 $1<e\leqslant3$ 时，以两焦点为圆心、$2a$ 和 $4a$ 为半径的两圆满足交点存在条件 $2a\leqslant2c\leqslant6a$，交点即为满足题设距离比的双曲线上一点，因此范围确为 $(1,3]$，选 B. \end{solution}