已知直线 $y = k(x + 2)$ （$k > 0$）与抛物线 $C: y^2 = 8x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，$F$ 为 $C$ 的焦点. 若 $|FA| = 2|FB|$，则 $k =$（ ）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，当 $l$ 的斜率为 $1$ 时，坐标原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) $C$ 上是否存在点 $P$，使得当 $l$ 绕 $F$ 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 成立？若存在，求出所有的 $P$ 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.