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10函数与初等函数★★★★☆
关于 xx 的方程 (x2−1)2−∣x2−1∣+k=0(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0，给出下列四个命题：
① 存在实数 kk，使得方程恰有 22 个不同的实根； ② 存在实数 kk，使得方程恰有 44 个不同的实根； ③ 存在实数 kk，使得方程恰有 55 个不同的实根； ④ 存在实数 kk，使得方程恰有 88 个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2006 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16平面向量★★★★☆
设函数 f(x)=a⋅(b+c)f(x) = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})，其中向量 a=(sin⁡x,−cos⁡x)\boldsymbol{a} = (\sin x, -\cos x)，b=(sin⁡x,−3cos⁡x)\boldsymbol{b} = (\sin x, -3\cos x)，c=(−cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{c} = (-\cos x, \sin x)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值和最小正周期； (2) 将函数 f(x)f(x) 的图像按向量 d\boldsymbol{d} 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 d\boldsymbol{d}.

2006 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 是侧棱 CC1CC_{1} 上的一点，CP=mCP = m.
(1) 试确定 mm，使直线 APAP 与平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1} 所成角的正切值为 323\sqrt{2}； (2) 在线段 A1C1A_{1}C_{1} 上是否存在一个定点 QQ，使得对任意的 mm，D1QD_{1}Q 在平面 APD1APD_{1} 上的射影垂直于 APAP，并证明你的结论.

2006 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 AA，BB 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左，右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x=4x = 4 为它的右准线.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 PP 为右准线上不同于点 (4,0)(4,0) 的任意一点，若直线 APAP，BPBP 分别与椭圆相交于异于 AA，BB 的点 MM，NN，证明点 BB 在以 MNMN 为直径的圆内.

2006 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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