已知 $f(x)$ 是二次函数，不等式 $f(x) < 0$ 的解集是 $(0,5)$，且 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值是 $12$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 是否存在自然数 $m$，使得方程 $f(x) + \dfrac{37}{x} = 0$ 在区间 $(m,m+1)$ 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有 $m$ 的值；若不存在，说明理由.