已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_2 = 3$，$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明：数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ 是等比数列； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (3) 若数列 $\{b_n\}$ 满足 $4^{b_1-1}4^{b_2-1}\cdots 4^{b_n-1} = (a_n + 1)^{b_n}$（$n \in \mathbf{N}^*$），证明：$\{b_n\}$ 是等差数列.