在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$2a_{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^2a_n$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 令 $b_n=a_{n+1}-\dfrac12a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$； (3) 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.