记椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{ny^2}{4n + 1} = 1$ 围成的区域（含边界）为 $\Omega_n$ （$n = 1$，$2$，$\cdots$），当点 $\left(x, y\right)$ 分别在 $\Omega_1$，$\Omega_2$，$\cdots$ 上时，$x + y$ 的最大值分别是 $M_1$，$M_2$，$\cdots$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} M_n =$（$\quad$）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 区域 $\Omega_n$ 满足 令 $u=\frac{x}{2}$，$v=\sqrt{\frac{n}{4n+1}}y$，则 $u^2+v^2\leqslant1$，且 由柯西不等式， 取 $(u,v)$ 与 $\left(2,\sqrt{\frac{4n+1}{n}}\right)$ 同方向且在单位圆上时可取到等号，因此 所以 因此选 D. \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\sin \omega x$. 其中常数 $\omega > 0$.

(1) 令 $\omega = 1$，判断函数 $F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由； (2) 令 $\omega = 2$，将函数 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 对任意的 $a \in \mathbf{R}$，求 $y = g(x)$ 在区间 $[a, a + 10\pi]$ 上零点个数的所有可能值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $\omega=1$ 时，$f(x)=2\sin x$，所以 于是 $F(-x)=2\cos x-2\sin x$. 又 $F(0)=2\neq-2=-F(0)$，故 $F(x)$ 不是奇函数；并且 $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$，$F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2$，故 $F(x)$ 不是偶函数. 因此 $F(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 $\omega=2$ 时，$f(x)=2\sin2x$. 图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 后，横坐标 $x$ 处的函数值为 $f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$，再向上平移 $1$ 个单位，故 令 $g(x)=0$，得 因此 $2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$ 即零点为 $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 函数 $g(x)$ 的周期为 $\pi$，每个周期内有两个零点. 区间 $[a,a+10\pi]$ 的长度是 $10$ 个周期，因此当 $a$ 不是零点时，区间内有 $20$ 个零点；当 $a$ 是零点时，$a+10\pi$ 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 $21$ 个零点. 故所有可能值为 $20$，$21$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2 - |x|$，无穷数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = f(a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_1 = 0$，求 $a_2$，$a_3$，$a_4$； (2) 若 $a_1 > 0$，且 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，求 $a_1$ 的值； (3) 是否存在 $a_1$，使得 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_1$；若不存在，说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a_1=0$ 时，$a_2=2-|0|=2$，$a_3=2-|2|=0$，$a_4=2-|0|=2$. \item 设 $a_1=t>0$.

当 $0<t\leqslant2$ 时，$a_2=2-t\geqslant0$，从而 $a_3=2-(2-t)=t$. 由 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，得 $(2-t)^2=t^2$， 所以 $4-4t=0$，即 $t=1$.

当 $t>2$ 时，$a_2=2-t<0$，从而 $a_3=2-|2-t|=4-t$. 于是 $(2-t)^2=t(4-t)$， 即 $2t^2-8t+4=0$，解得 $t=2\pm\sqrt{2}$. 结合 $t>2$，得 $t=2+\sqrt{2}$. 因此 $a_1=1$ 或 $a_1=2+\sqrt{2}$. \item 假设数列成等差数列，公差为 $d$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$. 由于对任意 $n$ 都有 $a_{n+1}=2-|a_n|\leqslant2$，若 $d>0$，则等差表达式使 $a_{n+1}$ 在 $n$ 足够大时大于 $2$，矛盾. 若 $d<0$，则 $a_n$ 在 $n$ 足够大时为负数，此时递推式变为 $a_{n+1}=2+a_n$，所以 $d=2$，又与 $d<0$ 矛盾. 因此只能有 $d=0$.

此时所有 $a_n$ 都等于 $a_1$，由递推式得 $a_1=2-|a_1|$. 当 $a_1\geqslant0$ 时，$a_1=2-a_1$，得 $a_1=1$；当 $a_1<0$ 时，$a_1=2+a_1$，矛盾. 因此存在且唯一的取值为 $a_1=1$. \end{enumerate} \end{solution}